1、以前也接触过RSA加密算法，感觉这个东西太神秘了，是数学家的事，和我无关。

(资料图)

2、但是，看了很多关于RSA加密算法原理的资料之后，我发现其实原理并不是我们想象中那么复杂，弄懂之后发现原来就只是这样而已..学过算法的朋友都知道，计算机中的算法其实就是数学运算。

3、所以，再讲解RSA加密算法之前，有必要了解一下一些必备的数学知识。

4、我们就从数学知识开始讲解。

5、必备数学知识RSA加密算法中，只用到素数、互质数、指数运算、模运算等几个简单的数学知识。

6、所以，我们也需要了解这几个概念即可。

7、素数素数又称质数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。

8、这个概念，我们在上初中，甚至小学的时候都学过了，这里就不再过多解释了。

9、互质数百度百科上的解释是：公因数只有1的两个数，叫做互质数。

10、；维基百科上的解释是：互质，又称互素。

11、若N个整数的最大公因子是1，则称这N个整数互质。

12、常见的互质数判断方法主要有以下几种：两个不同的质数一定是互质数。

13、例如，2与7、13与19。

14、一个质数，另一个不为它的倍数，这两个数为互质数。

15、例如，3与10、5与 26。

16、相邻的两个自然数是互质数。

17、如 15与 16。

18、相邻的两个奇数是互质数。

19、如 49与 51。

20、较大数是质数的两个数是互质数。

21、如97与88。

22、小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。

23、例如 7和 16。

24、2和任何奇数是互质数。

25、例如2和87。

26、1不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。

27、如1和9908。

28、辗转相除法。

29、指数运算指数运算又称乘方计算，计算结果称为幂。

30、nm指将n自乘m次。

31、把nm看作乘方的结果，叫做”n的m次幂”或”n的m次方”。

32、其中，n称为“底数”，m称为“指数”。

33、模运算模运算即求余运算。

34、“模”是“Mod”的音译。

35、和模运算紧密相关的一个概念是“同余”。

36、数学上，当两个整数除以同一个正整数，若得相同余数，则二整数同余。

37、两个整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作: a ≡ b (mod m)；读作：a同余于b模m，或者，a与b关于模m同余。

38、例如：26 ≡ 14 (mod 12)。

39、RSA加密算法RSA加密算法简史RSA是1977年由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。

40、当时他们三人都在麻省理工学院工作。

41、RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。

42、公钥与密钥的产生假设Alice想要通过一个不可靠的媒体接收Bob的一条私人讯息。

43、她可以用以下的方式来产生一个公钥和一个私钥：随意选择两个大的质数p和q，p不等于q，计算N=pq。

44、根据欧拉函数，求得r = (p-1)(q-1)选择一个小于 r 的整数 e，求得 e 关于模 r 的模反元素，命名为d。

45、（模反元素存在，当且仅当e与r互质）将 p 和 q 的记录销毁。

46、(N,e)是公钥，(N,d)是私钥。

47、Alice将她的公钥(N,e)传给Bob，而将她的私钥(N,d)藏起来。

48、加密消息假设Bob想给Alice送一个消息m，他知道Alice产生的N和e。

49、他使用起先与Alice约好的格式将m转换为一个小于N的整数n，比如他可以将每一个字转换为这个字的Unicode码，然后将这些数字连在一起组成一个数字。

50、假如他的信息非常长的话，他可以将这个信息分为几段，然后将每一段转换为n。

51、用下面这个公式他可以将n加密为c：ne ≡ c (mod N)计算c并不复杂。

52、Bob算出c后就可以将它传递给Alice。

53、解密消息Alice得到Bob的消息c后就可以利用她的密钥d来解码。

54、她可以用以下这个公式来将c转换为n：cd ≡ n (mod N)得到n后，她可以将原来的信息m重新复原。

55、解码的原理是：cd ≡ n e·d(mod N)以及ed ≡ 1 (mod p-1)和ed ≡ 1 (mod q-1)。

56、由费马小定理可证明（因为p和q是质数）n e·d ≡ n (mod p) 　　和 　n e·d ≡ n (mod q)这说明（因为p和q是不同的质数，所以p和q互质）n e·d ≡ n (mod pq)签名消息RSA也可以用来为一个消息署名。

57、假如甲想给乙传递一个署名的消息的话，那么她可以为她的消息计算一个散列值(Message digest)，然后用她的密钥(private key)加密这个散列值并将这个“署名”加在消息的后面。

58、这个消息只有用她的公钥才能被解密。

59、乙获得这个消息后可以用甲的公钥解密这个散列值，然后将这个数据与他自己为这个消息计算的散列值相比较。

60、假如两者相符的话，那么他就可以知道发信人持有甲的密钥，以及这个消息在传播路径上没有被篡改过。

61、RSA加密算法的安全性当p和q是一个大素数的时候，从它们的积pq去分解因子p和q，这是一个公认的数学难题。

62、然而，虽然RSA的安全性依赖于大数的因子分解，但并没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度等价。

63、1994年彼得·秀尔（Peter Shor）证明一台量子计算机可以在多项式时间内进行因数分解。

64、假如量子计算机有朝一日可以成为一种可行的技术的话，那么秀尔的算法可以淘汰RSA和相关的衍生算法。

65、（即依赖于分解大整数困难性的加密算法）另外，假如N的长度小于或等于256位，那么用一台个人电脑在几个小时内就可以分解它的因子了。

66、1999年，数百台电脑合作分解了一个512位长的N。

67、1997年后开发的系统，用户应使用1024位密钥，证书认证机构应用2048位或以上。

68、RSA加密算法的缺点虽然RSA加密算法作为目前最优秀的公钥方案之一，在发表三十多年的时间里，经历了各种攻击的考验，逐渐为人们接受。

69、但是，也不是说RSA没有任何缺点。

70、由于没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度的等价性。

71、所以，RSA的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能如何。

72、在实践上，RSA也有一些缺点：产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到一次一密；分组长度太大，为保证安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使运算代价很高，尤其是速度较慢，。

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